◇◇新语丝(www.xys.org)(xinyusi.org)(groups.google.com/group/xinyusi)◇◇ 　　在数学和物理中的几何人生 　　作者：丘成桐 　　本文整理自作者于 2019 年 7 月 12 日在台大天文数学馆国际会议厅的演 讲内容，分别刊登在《数学传播》（第43卷3期）与《数理人文》杂志。 　　我将谈谈我与科学作家 Steve Nadis 合写、甫由耶鲁大学出版社发行的新 书。这本书是我的自传，阐述我如何开拓数学研究的历程，并讨论在这个神奇的 学科之中，我最感兴趣的领域。 　　1949 年中共将取得大陆政权之前，我出生于中国东南濒海的汕头市。不久 因战事迫近，我们举家迁到香港，我父亲认为这是暂时性的举措，等候中国的政 情恢复稳定。 　　我们在元朗西边的小农村定居。我的父亲把微薄的积蓄都投入农场经营，认 为这样才可能供养我们的大家庭。但我的父亲是大学教授，未曾务农；农场倒闭 后，家里便一贫如洗。 　　我的父亲在九龙及香港市区接了几个低薪教职，工作地点离家很远，而且要 花大量时间往返奔波；这意味着我们几乎看不到他。我的母亲日夜辛劳，努力让 家里的八个孩子衣食温饱，这是不容易的，微薄的资源让她左支右绌。 　　我五岁入学，当时要进公立学校需先参加考试，包括我人生第一回数学测验， 其中有一个题目要求学生写下 1 到 50 的所有数字。中国传统书写由右至左， 就如我目睹父亲所为，因此我认为数字也是以同样的方式书写。结果我写的大部 分数字都错了：例如，当我打算写 13 时，却写成 31。 　　这些错误造成严重的后果：我没上好的公立学校，被送到一所乡村小学。该 校是给程度较差的学生就读，不用说，大多数学生都无法从低下阶层翻身。 　　最初几年，我的成绩并不好。三年级快结束时，我姐姐巧遇我和一位朋友， 她询问我们功课的情况。我的朋友告诉她我表现得很好。 　　“多好？” 我姐姐问道。 　　“他是班上第 36 名！” 我的朋友吹嘘道，其实他自己在 40 多人中名列 40。 　　四年级和五年级时我表现得稍好一些，但六年级时又遇到困难。六年级的学 生必须参加大型入学考试。我考得不是太好，但侥倖进了培正中学；这所学校有 许多杰出的毕业生，包括 1998 年诺贝尔物理学奖得主崔琦（Daniel Chee Tsui）。当时培正没有优秀的物理老师，但是数学老师十分出色，给我上了第一 回真正的数学入门课。 　　没想到，我父亲于 1963 年去世，当时我 14 岁。这是家里难以承受的损失， 家人的悲恸无法估量。家里本已岌岌可危的财务状况，因而更加不堪。我需要尽 快开始赚钱，于是去当数学家教，辅导与我年龄相近的学生。 　　虽然我的动机是想帮忙持家，但我从这项工作获得的远远超出我的预期。让 小孩子理解数学的过程，有助于厘清我自己对数学的看法。我发现教数学让我很 有成就感，而这一发现促我前行，助我沿着既定的路线前进。 　　培正毕业后，我就读家附近香港中文大学的崇基学院。课余我还教太极拳来 赚钱，那是一门我并不擅长的武术。 　　我在崇基认识了 Stephen Salaff，他是我遇见的第一位真正熟悉现代数学 的教授。他教授一门“美式风格”的微分方程课程，鼓励学生随时发言和参与， 这并不是我或其他学生习惯的方式。 　　与 Salaff 的互动，增长了我对数学的兴趣。他安排我在大三结束后离开中 文大学，在没拿到学士学位的情况下，开始在加州大学柏克莱分校念研究所。 　　1969 年 9 月，我人生首次搭飞机，从香港飞往旧金山国际机场。约一天后 我到达柏克莱，口袋里的钱不到 100 美元，一心只渴望竭尽所能吸纳数学知识。 　　我在柏克莱的指导教授是几何学家陈省身先生，中国出身的数学家中，他被 认为是史上最著名的大师。选择博士论文的题目时，陈先生建议我研究黎曼猜想 （Riemann hypothesis），但我心目中另有其它问题。在柏克莱两年后，我于 1971 年 6 月获得博士学位。陈先生鼓励我接受普林斯顿高等研究院（IAS）的 奖学金。我采纳他的建议，那年夏天前往普林斯顿。 　　在高等研究院时，我探索了一个在柏克莱时就感兴趣的问题，亦即 Calabi 猜想。1954 年，Eugine Calabi 从几何的角度严格地提出这个问题。他想知道， 所谓的 K?hler 空间的体积，如何与同一空间内的路径长度或距离相关。但我看 出这个问题与爱因斯坦广义相对论的关联。 　　就我所见，与 Calabi 的问题等价的问题是：重力及非零曲率是否仍存在于 真空（一个没有物质的空间）？这个问题让我劳碌多年。 　　1972 年至 1973 年，我在 Stony Brook 任教，除了研究之外，也要开始教 课，由于没有经验，许多学生抱怨我的口音，觉得很难听懂。我受邀自 1973 年 至 1974 年访问史坦福大学，这给我很大的方便，因为我正计划 1973 年夏天参 加在史丹福举行的一个微分几何重要会议。 　　我和 Stony Brook 的一名研究生开我那辆老福斯旅行车，沿途观光，体会 美国究竟有多大多美，至少在我们去过的一些地方，比如黄石国家公园。 　　得以参加史坦福大学的会议，让我备感兴奋，部分原因是我可藉机见到几何 领域的知名人士，并可望与他们交谈。 　　会议期间有消息说我可能找到了 Calabi 猜想的反例，意即我可以证明这个 猜想是错的。某日晚餐后，我被要求就这个问题做个非正式的报告。演讲进展顺 利，大多数人似乎确信我证明 Calabi 错了，Cacabi 本人好像也支持我的论点。 陈先生告诉我，我的演讲是整场会议最精采的部分。因此我离开会场时不免洋洋 自得。 　　但是好景不常，良好的感觉并没有持续多久。几个月后，我收到 Calabi 的 短信，说他反思之后，发现我的演讲在某些方面令人费解。他问我可否把论证写 在纸上，好让他更透彻地理解。 　　这是一个合理的要求，于是我开始专注进行，但工作并不顺遂。我一再试图 证明他的猜想有反例，但每次尝试，我的论证都在最后一刻崩解。 　　我废寝忘食工作了两个星期，几乎无休无止，但始终无法证明我的主张。我 心力交瘁，最后不得不承认自己错了。我下了结论：Calabi 猜想并没有错，它 必然是正确的。我决心证明事实确是如此。 　　三年后（1976年），我终于证明了 Calabi 猜想，当时我甫获加州大学洛杉 矶分校一年教职，也才刚结婚一两周。由于我之前犯过错，这次想要全然确定自 己是对的。我竭尽所能多次检查证明，反复核实，并尽力构想出多种不同的方式 来查核。我的论证经受得住每一次的检验。 　　1976 年 12 月的圣诞日，我与 Calabi 及纽约大学的数学家 Louis Nirenberg 会面。Nirenberg 和 Calabi 逐步检验证明。在他们当时看来，证明 是完好的，如今 40 多年后，证明依然有效。 　　1977 年我发出一份关于证明的简短公告，并于翌年发表完整证明。很快就 有几所大学想聘用我，我也终究因这项工作荣获一些数学奖项。 　　然而，我仍不完全满意。Calabi 猜想与广义相对论的联系是我已知的，除 此之外，我总觉得这项数学结果对物理极为重要，这种感觉让我很困扰。我不知 道这个连结可能会以何种形式呈现，尽管我觉得它确实存在、将在某处找到。耗 时八年后，物理学家在弦论上发现了联系上 Calabi-Yau 定理的管道；这是我梦 寐以求的结果，确实是值得等待。 　　在此期间，我进行了一趟影响深远的旅行...... 　　1979 年，中国开始对外开放，知名数学家华罗庚邀请我，5 月下旬在北京 中国科学院数学研究所进行一系列演讲。 　　对我来说，这趟旅程意义重大，因为自三十年前在襁褓中离乡后，我未曾到 过中国。这次返乡之旅并不孤单，有大量旅外人士同行，同在长期缺席后返回故 土。 　　降落北京时，我非常兴奋。我在机侧弯下腰，然后触地。对我来说，这个时 刻如千钧雷霆，因为尽管真正的回忆付之阙如，中国始终深远地影响我的生活。 　　除了在科学院演讲，闲暇时我还在北京观光，参观了颐和园。 　　这趟旅程里我还走访中国蕉岭的祖厝，但是行程似乎很难安排，我后来才发 现原因：官员拖延我的访问，直到他们在田垄上铺了一条几十里的黄沙路，让给 我们的车子行走。 　　我及时回到美国，自 1979 年 9 月起，在高等研究院举办“特别年” （special year）。活动聚焦于“几何分析”，这是我与同事和朋友一起开发的 新领域，使用非线性微分方程来解决几何问题。Calabi 猜想的证明属该领域的 第一个重大成就，之外另有许多重大斩获。 　　当年，一些重要的几何分析学者齐聚高等研究院，包括 Calabi、郑绍远（S. Y. Cheng）、李伟光（Peter Li）、Richard Schoen（孙理察）、Leon Simon 及 Karen Uhlenbeck。我很满意当年完成的所有工作，其中大部分都曾在每周三 次的研讨会上提出。除了数学之外，会期中还有一些热烈的排球和乒乓球比赛， 以及一些大型派对，据我所知，其中最精彩的活动发生在身为“老板”的我不在 时。 　　我认为提出 120 个几何分析的“未解决（open）问题”来结束特殊年是恰 当的。陈先生告诉我，这是为该领域的学者做出贡献的最佳方式之一。正如美国 发明家 Charles Kettering 所言：“问题一旦妥为陈述，已经解决了一半”（A problem well stated is a problem half-solved）。 　　所有这些问题后来都广泛流传，为从事几何分析的学者所共知。约 30 个问 题至少已部分解决，其它问题一直是众人思考的素材。 　　1984 年，我转到加州大学圣地亚哥分校任教，主因是我的妻子在圣地亚哥 附近工作，但我也有一群志同道合的优秀的同事合作，做出很重要的工作。两位 杰出的数学家暨合作者 Schoen（我昔日的研究生）及 Richard Hamilton 同意 转职来圣地亚哥。我们预期这里会是开发几何分析新途径的绝佳环境，也会是 Hamilton 找到冲浪新门路的好地方（这是他除了数学之外的一项主要爱好）。 　　很快就出现出人意表的好消息，而我其实曾模糊地预期到一些。物理学家当 时正对弦论感到兴奋，设想了一个十维宇宙，试图将所有大自然中的作用力和粒 子统一于单一框架。 　　一群理论物理学家，诸如 Philip Candelas、Gary Horowitz、Andrew Strominger 和 Edward Witten，试图找出四维时空之外“隐藏的”六维可能呈 现的形状。他们认为答案可能是某类空间，而且其数学存在性已见诸我对 Calabi 猜想的证明。他们描述了这些空间需要具备的性质，我告诉他们： Calabi 证明中的空间——亦即他们所谓的“Calabi-Yau 流形”——确实具备他 们想要的性质。 　　Calabi-Yau 流形很快就跻身弦论核心，被当作几何基础，据称从这些基础 会涌现出宇宙所恪遵的物理定律。这些流形在数学及物理中的重要性速获提升。 　　1987 年，我再次搬迁，转赴哈佛大学，之后一直留在哈佛大学。 　　我很快发觉自己被一大群来自中国的学生及研究人员所包围，其规模之大引 发了美国中央情报局（CIA）的关注。我被要求定期报告所有这些人的动态。但 我提供的细节，尽是 Calabi-Yau 流形、Ricci 流、Yang-Mills 理论等等，极 其无聊，因此提交几年的这些报告后，中央情报局不再找我了。 　　我念研究所时，初认识爱因斯坦的广义相对论，此后始终对物理感兴趣。我 常喜欢在数学和物理的交界处做研究，认为此处令人兴奋。我跟上物理学发展的 一种方法，是聘任恰好是物理学家的博士后研究人员。 　　1980 年代后期，物理学家 Brian Greene 成为我的博士后。他与哈佛大学 物理系研究生 Rosen Plesser 合作，完成了一些有趣的工作。他们协助揭露一 个令了兴奋的理论，名为“镜对称（mirror symmetry）”。30 年后，这个概念 仍然引起数学家和物理学家的兴趣。 　　镜对称是对偶性（duality）的一例：两个截然不同的 Calabi-Yau 形状可 以产生相同的物理性质。它之所以重要，是因为某些物理问题或许在一个 Calabi-Yau 流形上几乎不可解，但在其“镜伴”（mirror partner）”流形上 却很容易解决。 　　在数学也是如此。镜对称已引导出许多的突破，特别是在枚举几何 （enumerative geometry）的领域，计算出给定的几何空间或曲面上曲线或某类 物件的数量。 　　1990 年代初期，就已证实镜对称极其有用。1996 年，Strominger、Eric Zaslow 和我合写了一篇论文，提出所谓的 SYZ（Strominger-Yau-Zaslow）猜想， 对这种现象做出几何解释，揭示如何构造镜流形。SYZ 仍是个猜想，除特殊情况 外未经证明，但它一直是活跃的研究领域。 　　我一直与中国有密切联系，尽管我仅在襁褓中待在那里数月，30 岁时才又 造访。我与亚洲强化联系的方法，是去努力改善当地的数学研究。迄今，我已在 两岸三地建立了六个数学研究所，并且试图在各个中心建立风气以促发研究。 　　第一个这样的中心是香港中文大学数学科学研究所，成立于 1993 年。当时 我必须大量筹款，十分棘手，但整个过程进行得相当顺利。 　　然而，筹设北京中国科学院的新数学中心时，事情就没那么如意了。这个新 中心已由晨兴基金会取得资金，并于 1996 年 6 月举行奠基仪式。某位北京大 学有影响力的数学家在仪式中演说，竟然誓言要将该中心搬迁到他的大学，其后 续效应令人彻骨心寒。 　　一场争斗继之而至，中国科学院最终胜出而主事。晨兴数学中心于 1998 年 竣工，不久之后开始运作。 　　类似的地位或地盘之争之后又再爆发，肇因是我在 1998 年提议国际数学家 大会（ICM）在北京召开。一开始事情十分顺利。我和昔日的指导教授陈先生一 起去见中国国家主席江泽民，讨论召开国际数学大会的计划。谈话结束时，我们 获江主席批准。 　　会议定于 2002 年在北京举行。但主事的委员会在选择中国数学家担任大会 讲者时，显然多出于政治考量或任人唯亲，而非基于学术成就，而后者是我一向 认定的行事准则。最后，我见学术盛事竟如此腐坏，只好决定不出席。 　　我反倒把精力集中在我筹划的国际弦论会议。该会议在北京举行，时间是 2002 年 8 月国际数学家大会召开前一周。诸多知名人士参加了这个会议，包括 霍金（Stephen Hawking）、Witten、Strominger 及诺贝尔奖得主 David Gross。 　　这个为期三天的会议令我十分欣慰，因为它汇聚了数学及物理、东方及西方 的学者，而这两者正是我投注大量精力的重要起因。我也很高兴地看到，来自世 界各地的 200 多名研究人员，在我的祖国召开如此高规格的会议，吸引了当地 和国际媒体的关注。 　　会议期间，我抽空与 Hawking 及他的昔日门生共游中国杭州的西湖。 　　同月，即 2002 年 8 月，我在杭州浙江大学创立的数学中心开张。此外， 我创立了北京清华大学的丘成桐数学中心、海南省三亚的相关中心，以及目前位 于台湾大学的数学中心。 　　当然，我投注的心力不全在东方。2014 年，我率先在哈佛创设了数学科学 与应用中心（CMSA）。虽然我主要以纯数学方面的工作而知名，但我相信在许多 不同领域——包括生物学、化学、经济学、工程学，以及物理学——应用数学日 益重要，因此值得关注与支持。 　　我在哈佛和中国的诸多职务，致使我必须频繁游走美国及亚洲。我如此来回 奔波，以至于很难说哪里是我真正的家，或者我是否有两个家；我从未全然归属 于何地。 　　这种感觉让我位处奇特之地，不能在传统地图上定位，而是居于两种文化及 两个国家之间——它们在历史、地理和哲学上截然有别，也因烹饪美食的显著差 异而彼此隔阂。 　　但我还有第三个家，我待在那里的时间更长久得多，那里就是数学。对我来 说，数学提供了一本普世通用的护照，允许我在世界各地自由行动，也让我用它 强大的工具去理解世界。 　　数学具有一些看似神奇的性质：它可以弥合距离、语言和文化的差距，能够 引领那些善于驾驭数学威力的人，瞬间到达同一交流空间或同一思想平台。 　　数学的另一神奇之处，在于它不需要太多资金来进行重大研究。许多问题的 解决，需要的只是一张纸、一支笔，以及专注的能力。有时你甚至不需要纸笔， 在脑中就可以进行最重要的工作。 　　2018 年，从我的祖籍地中国蕉岭，有官员来与我接洽。他们正在石窟河岸 兴建公园，想要放置一座我的雕像。我转而建议他们安放一座 Calabi-Yau 流形 的雕塑，由我的朋友 Andy Hanson 及另一位共事的艺术家设计。 　　我思忖，一个好奇的孩子可能会被这座雕塑吸引，甚至可能会好奇地阅读基 座的铭文，其内描述了 Calabi 猜想的证明，以及它如何影响我们对数学、物理， 甚至宇宙的想法。 　　一个年轻人如果被这件艺术品吸引，进而投身数学研究，也许将卓然有成， 因为在我的领域，赋予一个人一点天赋、冲劲和运气，是可以有一番作为的。 (XYS20250325) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xinyusi.org)(groups.google.com/group/xinyusi)◇◇